Settembre 2010

ACHILLE RAGGIUNGE LA TARTARUGA

Può la somma di infiniti numeri essere un numero finito?

Ciccio Schembari

Zenone (ca 490-??? a.C.), discepolo del filosofo Parmenide di Elea (ca. 515-440 a.C.) che sosteneva l'unità e l'indivisibilità dell'Essere, per difendere la tesi del suo maestro (ed anche amante - situazione, a quei tempi, pressoché normale tra maestro ed allievo - l'affinità intellettuale si completava con quella sentimentale e sessuale) inventa e sviluppa quello che verrà chiamato il ragionamento per assurdo molto usato in matematica e non solo. Il ragionamento consiste nel supporre non vera la tesi che si vuole dimostrare, pervenire ad un assurdo che fa cadere l’ipotesi e quindi afferma la tesi. Si vuole affermare l’assunto A; si suppone vero l’assunto NON A, si perviene ad un assurdo e pertanto NON A è falso e quindi, per il principio del terzo escluso della logica aristotelica, A è vero. Nel caso specifico l'argomentazione di Zenone diventa: "Supponiamo l’essere divisibile, Achille percorre la prima metà del percorso, poi percorre la metà del secondo tratto, e poi ancora un'altra metà, e poi ancora un'altra metà e così via e avrà sempre infiniti segmenti da percorrere e non potrà mai raggiungere la tartaruga. Ma tale risultato è assurdo poiché invece, come è ovvio e come tutti possiamo constatare, Achille raggiunge la tartaruga. L'assurdo proviene dall'aver supposto l'Essere divisibile, pertanto l'Essere, come giustamente sostiene il mio grande maestro Parmenide, è indivisibile." Se si traduce il problema dai termini geometrici agli equivalenti termini aritmetici il ragionamento di Zenone diventa che la somma di infiniti numeri non può dare un numero finito ovvero la somma delle misure delle lunghezze degli infiniti segmenti in cui può essere suddiviso il tratto che separa Achille dalla tartaruga non può dare come risultato un numero finito né tantomeno la misura della lunghezza del tratto. Impostiamo il problema. Per semplificare, si supponga che la tartaruga sia ferma. Non è una riduzione o cambiamento del problema ma semplicemente un cambiamento del sistema di riferimento mettendosi in uno che si muove con la stessa velocità della tartaruga per cui si vede la tartaruga ferma ed Achille che si muove con velocità pari alla differenza tra la sua e quella della tartaruga (relatività galileana). Calcoliamo il percorso compiuto da Achille. Se supponiamo pari ad 1 l’intero tratto, Achille percorre la prima metà ovvero 1/2 poi un’altra metà ovvero 1/4 che sommata al precedente fa 3/4, poi un’altra metà ovvero 1/8 che sommato al precedente fa 7/8, poi 1/16 e fa 15/16, poi 1/32 e fa 31/32, poi 1/64 e fa 63/64, poi 1/128 e fa 127/128. Ci rendiamo conto, a questo punto, che la somma dei tratti percorsi da Achille è un numero sempre inferiore ad 1 (il numeratore è più piccolo del denominatore) e che anche dividendo all'infinito ovvero dividendo quanto si vuole la somma delle misure degli infiniti spazi percorsi è un numero del tipo (n-1)/n che non diventa affato infinito ma sarà sempre minore di 1 e sempre più vicino ad 1. È legittimo allora, in casi come questo, ritenere possibile la somma di infiniti numeri ed attribuire ad essa un valore finito. Nel nostro caso 1, cioè tanto quanto vale la misura della lunghezza del tratto che separa Achille dalla tartaruga. In conclusione: anche ammettendo lo spazio divisibile quanto si vuole Achille raggiunge la tartaruga sia praticamente sia teoricamente, per cui non c’è assurdo. In gergo matematico la somma di infiniti numeri si chiama serie e nei casi in cui è legittimo assegnarle una somma determinata e finita dicesi serie convergente. Negli altri casi dicesi che o non ha somma o che diverge. La serie 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+….. è chiaramente divergente. Zenone quindi sbagliava. L'errore fu trovato da Gregorio di San Vincenzo (1638-1675) che per primo determinò la somma della serie di cui sopra, ma già siamo nell'epoca in cui era in gestazione il calcolo infinitesimale alla cui nascita Gregorio (che era inglese e si chiamava John Gregory ma che studiò e pubblicò in Italia) contribuì assieme ad altri. Zenone non poteva inventare il calcolo infinitesimale e fu già tanto che inventò il ragionamento per assurdo e comunque il problema da lui posto ha grande rilevanza nella logica e va sotto il nome di regresso all’infinito.